Projekt Bungee Jump . Fysik A-niveau

Indholdsfortegnelse

Side 1      Indholdsfortegnelse

Side 1      Hvad skal besvarelsen indeholde?

Side 2      1. forsøg: Eftervisning af Hookes lov
Side 2      2. forsøg: Eftervisning af formlen for potentiel fjederenergi. Bungee Jump.
Side 4      3. forsøg: Eftervisning af formlen for potentiel fjederenergi. Omvendt
Bungee Jump.
Side 7      4. forsøg: Dæmpet harmonisk bevægelse, find dæmpningsfaktoren.
Side 10    5. forsøg: Eftervisning af svingningstidsformlen, ved anvendelse af
accelerometer.
Side 11    6. forsøg: Bungee Jump med accelerometer.
Side 12    Teoretiske overvejelser

Hvad skal besvarelsen indeholde?

Alle skal udføre forsøg1 om Hookes lov, og skrive grupperapport om det.

Alle skal udføre to af forsøgene 2-6, og skriv grupperapport om det.

Rapporten skal indeholde den anvendte teori.

______________________________________________________________________

NB I alle forsøg nedenfor benyttes samme elastiktype, og benyt samme længde elastik.

Vi vil starte med at betragte et simplere problem nemlig en harmonisk svingning.

1. forsøg  : Eftervisning af Hookes lov:

Elastikken ophænges i et stativ. Benyt en elastik på ca 1meters længde. Mål elastikkens længde.

Hæng forskellige lodder på elastikken og mål forlængelsen .

Mål 10 sammenhørende værdier af massen m og forlængelsen .

Om fjederkraften gælder Hookes lov som  lyder :  , hvor k er fjederkonstanten for elastikken. ( NB loven gælder ikke generelt  for elastikker med samme k for alle længder, k afhænger af længden af elastikken, men holdes længden  på en fast længde f.eks. 1m, så  gælder Hookes lov for en elastik på denne længde.)

Der gælder   for tyngdekraften.

Da loddet er i hvile har vi  ó  .

Vi får derfor

(1)

Indtegn målepunkterne i TI-Interactive, lav en passende regression og bestem fjederkonstanten k for den benyttede elastik.

2. forsøg: Eftervisning af formlen for potentiel fjederenergi.  Bungee Jump.

Vi vil her se nærmere på energien i en fjeder eller for os energien i en elastik.

Den potentielle fjederenergi der oplagres i en fjeder er .

Benyt en flaske med vand, lad  f.eks. massen af flaske med vand være 200g.

I skal benytte en målestok .  Benyt en elastik på ca. en meter, hæng den højt op.

Start med at lade elastikken hænge frit uden flaske.

Mål afstanden x0  fra gulvet op til elastikken (absolut nulpunktet for potentiel fjederenergi).

Sæt dernæst flasken på elastikken, mål afstanden x1, fra gulvet til hvor flasken hænger i hvile i ligevægtsstillingen, mål op til der hvor elastikken fæstnes.

Lad x være strækningen elastikken er trukket ud. Der gælder da .

Dette punkt benyttes faktisk ikke, men det er rart at vide hvor det er.

I ligevægtsstillingen er , dvs.   , idet størrelsen af tyngdekraften er lig størrelsen af fjederkraften.

Når vi løfter flasken over nulpunktet for fjederen ( altså over det punkt hvor elastikken kan hænge helt frit uden flaske), så vil vi have at den mekaniske energi er lig

, hvor h1 er flaskens højde overgulvet.

Vi kan se bort fra fjederen , idet elastikken er slap , og der ikke er ophobet energi her.

Slipper vi flasken så den falder ned mod gulvet, vil den opnå en ny højde h2.

Vi har nu , sidste led forsvinder, idet v=0 når flasken

vender i sin bevægelse.

x er her igen strækningen elastikken er trukket ud. Der gælder her  .

Lad nu   være faldhøjden for flasken.

Hvis vi antager energibevarelse får vi

ó

(2)

Løft nu flasken til en højde h1 over jorden, punktet skal være over det absolutte  nulpunkt for potentiel fjederenergi.

Lad den strækning i nu måler være h1, som er afstanden fra gulvet til der hvor elastikken fæstnes til flasken, når I har løftet flasken.

Flasken  slippes nu og den højde den når over gulvet h2  måles .

Højden h flasken er faldet beregnes.

Udfyld følgende skema

h1/m

x/m

h2/m

/J

Lav en powerregression på ( x, Epot)  . Undersøg om  regneforskriften er af formen

Og bestem k ud fra forskriften.

Indtegn grafen for  med det fundne k , sammen med grafen for Epot.

3. forsøg: Eftervisning af formlen for potentiel fjederenergi.

Omvendt Bungee Jump. ( udføres efter forsøg 2)

Vi vil her se mere på energien i en fjeder eller for os energien i en elastik.

Den potentielle fjederenergi der oplagres i en fjeder er  .

Benyt en flaske med vand, lad  f.eks. massen af flaske med vand være 200g.

I skal benytte en målestok . Benyt en elastik på ca. en meter,  hæng den højt op.

Benyt samme elastik som ved forsøg 2.

Start med at lade elastikken hænge frit uden flaske.

Mål afstanden x0  fra gulvet op til elastikken (absolut nulpunktet for potentiel fjederenergi).

Sæt dernæst flasken på elastikken, mål afstanden x1, fra gulvet til hvor flasken hænger i hvile i ligevægtsstillingen, mål op til der hvor elastikken fæstnes.

Lad x være strækningen elastikken er trukket ud. Der gælder da .

Dette punkt benyttes faktisk ikke, men det er rart at vide hvor det er.

I ligevægtsstillingen er , dvs.   , idet størrelsen af tyngdekraften er lig størrelsen af fjederkraften.

Vi vil nu se på bevægelser, hvor flasken svinger under nulpunktet for potentiel fjederenergi

( altså over det punkt hvor elastikken kan hænge helt frit uden flaske).

Vi vil udføre et forsøg hvor vi trækker flasken yderligere  ned til højden h1 , slipper flasken og bestemmer højden h som flasken løftes.

Mål højde h1 fra jorden til der hvor elastikken fæstnes,  slip flasken så den fyrres af opad, mål højden h2 som flasken opnår efter affyringen.

Lad os betragte situationen inden affyringen

Vi har  , sidste led forsvinder, idet v=0 når flasken

vender i sin bevægelse, både nede og oppe.

Der gælder da

x er her igen strækningen elastikken er trukket ud, målt fra nulpunktet.

Lad os betragte situationen efter affyringen

Lad nu   være stighøjden for flasken.

Lad x2 være den strækning elastikken er strukket ud, ved højden h2, der gælder da

Hvis vi antager energibevarelse får vi

ó

ó

=>

(3)

Udfyld følgende skema

h1/m

x/m

h2/m

h/m

Lav en lineær regression på ( x, h)  .

Indtegn  grafen for   i samme koordinatsystem.

Benyt det k som I har bestemt ved forsøg 2.

Sammenlign de to grafer.

4. forsøg  Dæmpet harmonisk bevægelse, find dæmpningsfaktoren

Teori:

Den mekaniske energi i en fjeder er

(4)     , hvor A er amplituden.

Vi vil udlede denne formel:

Der gælder    og .

Stedfunktionen og hastighedsfunktionen for den harmoniske svingning er:

og   ,når x(t)=0 hvis t=0

vi har :

og dermed

Da der gælder :    og   har vi  .

Fra matematik ved vi at : , dette giver :

qed.

Vi kan overføre denne formel til en dæmpet harmonisk svingning.

Bevægelsesligningen for en dæmpet harmonisk svingning er

, hvor  er  den dæmpede amplitude.

Der gælder altså

og der med

(5)

på en svingningstid har vi altså

Forsøg:

Hæng en flaske med vand i elastikken. Lad f.eks. massen af flaske med vand være 200g.

Andvend LabQuest og programmet Logger Pro på Computeren.
Benyt en ultralydssonde CBR eller CBR2.
Forbind ultralydssonden til Dig 1 indgangen på LabQuest’en.

Udfør forsøget
Læs data over i Logger Pro.
Betragt en graf over (tid, strækning) .
I vil nu kunne se en dæmpet sinusfunktion.
Giv et skøn over perioden på sinusfunktionen.
Benyt dette skøn til at fitte den bedste sinusfunktion.

Denne har formen:

hvor h vil være afstanden fra ultralydssonden til bunden af flasken.

Bemærk at dæmpningen ikke er med, den skal I selv finde senere.

Benyt den fundne sinusfunktion til at finde den nøjagtige periode  T og fjederkonstanten k.

Benyt følgende formler :

og

Vi skal nu finde den mekaniske energi i systemet:

hvor x er afstanden fra ligevægts stillingen.

Benyt Logger Pro  til at finde X. Vælg Data, New calcolatet column,  funktionen skrives som ”position”-h ,hvor h”position” vælges under variable columns, og  hvor h er afstanden fra ultralydssonden til bunden af flasken.

Benyt nu listerne i Logger Pro til at beregne den mekaniske energi.
Benyt den ovenfor fundne fjederkonstant k.

Tegn nu en graf over ( tid , Emek). Vælg ved at markere akser.
Kommenter grafen.

Lav eksponentiel regression på grafen.

Den eksponentielle regression har formen   find derved γ.

Find dernæst dæmpningsfaktoren   på stedfunktionen.

Den endelige stedfunktion har formen

find den og tegn den ind sammen med ( tid, strækning) grafen. Du kan i Logger Pro vælge Options, Graph options, Axes Option , og sætte hak i
den datakolonne du vil have tegnet ind på din graf.

Vurder selv på amplituden.

5. forsøg : Eftervisning af svingningstidsformlen , ved anvendelse af accelerometer.

Hæng en plastflaske med vand på elastikken.  Noter massen m af flaske med vand

Fyld f.eks. vand i flasken til den samlede masser er  200g .

Sæt et accelerometer fast på flasken.

Pilen på acelerometret skal vende opad.

Benyt en LabQuest og et low-g accelerometer.

Forbind Low-g accelerometret til CH1 på LabQuest’en.

1.    Accelerometeret skal nulstilles  så det kun viser flaskens acceleration, det skal vise  – 9.8 m/s2 når vi har  et frit fald.

Vælg Sensors Zero, mens flasken er I hvile med pilen på accelerometret pegende opad.

Træk nu flasken 5-10cm ud fra ligevægtsstillingen og slip flasken så den sættes  i svingninger.

2.      Udfør dataopsamlingen .

Grafen vil nu vise en dæmpet harmonisk svingning.

Hvad er svingningstiden ca  for bevægelsen?

Der gælder svingningstidsformlen : .

Stemmer den overens med jeres forsøg?

Få nu jeres beregninger lagt ind i jeres Journal med Logger Pro.

Lav nu en sinusregression på jeres måletal.

I vil nu kunne se at I mangler dæmpningen.

Amplituden aftager eksponentielt. Prøv nu at ændre begyndelsesamplituden til

den begyndelsesamplitude I kan aflæse på jeres lommeregner.

Gang nu et led  på amplituden ,vælg μ<1, find det eksponentialled der passer med jeres graf.

Prøv jer frem eller lav eksponentiel regression på amplituderne.

Indtegn den graf der passer bedst i samme grafvindue som jeres måletal.

Du kan i Logger Pro vælge Options, Graph options, Axes Option , og sætte hak i den datakolonne du vilhave tegnet ind på din graf.

6.forsøg   Bungee Jump  med accelerometer

Hæng en plastflaske med vand på elastikken.  Noter massen m af flaske med vand

Fyld f.eks. vand i flasken til den samlede masser er  200g . ( se figur nedenfor)

Sæt et accelerometer fast på flasken.
Pilen på acelerometret skal vende opad.

Benyt en LabQuest og et low-g accelerometer.

Forbind Low-g accelerometret til CH1 på LabQuest’en.

1.  Accelerometeret skal nulstilles  så det kun viser flaskens acceleration, det skal vise

9.8 m/s2 når vi har et frit fald.

Vælg Sensors, Zero mens flasken er I hvile med pilen på accelerometret pegende opad.

2.      Udfør Dataopsamlingen

Løft nu flasken højt op over ligevægtsstillingen og slip flasken,  pas på at den ikke rammer gulvet.

3.     Når dataopsamlingen er afsluttet vil grafen over accelerationen som funktion af tiden vise sig på labQuesten.

Kommenter grafen.

Teoretiske overvejelser

Der er anvendt to formler for mekanisk energi når vi arbejder med fjedre, vi vil vise at de i virkeligheden er ens.

Hvis vi betragter en harmonisk bevægelse hvor fjederen svinger om sit ligevægtspunk anvender vi formlen for fjederenergi:

(6)  , hvor x er afstanden til ligevægtspunktet.

Når fjederenergien regnes fra det absolutte nulpunkt, så anvender vi følgende mere generelle formel.

(7)

Vi vil nu vise matematisk, hvorfor vi kan se bort fra leddet med den potentielle energi i tyngdefeltet, når vi regner omkring ligevægtspunktet.

Idet x1  og  x2 er tilfældige steder f.eks. hhv.  over og under ligevægtspunktet, målt som afstande til ligevægtspunktet, x2 er altså et negativt tal, hvis punktet ligger under ligevægtspunktet.

Lad x0 være afstanden fra det absolutte nulpunkt til ligevægtspunktet.

Lad h være afstanden fra nulpunktet for potentiel energi i tyngdefeltet, op til ligevægtspunktet.

Ser vi på ændringen i mekanisk energi ved anvendelse af formlen for fjederenergi får vi:

Vi får derfor vha. lidt matematik:

idet    ifølge Hookes lov fås:

og de to beregninger stemmer altså overens.

EH 05-01-2011